Сопротивление материалов Растяжение и сжатие mПолярный момент инерции сечения mНапряжения и деформации при кручении mДеформации при чистом изгибе mОсобенность расчета валов

Теоретическая механика Сопративление материалов

Осевые моменты инерции

Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей пло­щади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой оси:

1) осевой момент инерции сечения относительно оси Ох

;

2) осевой момент инерции сечения относительно оси Оу

.

Полярный момент инерции сечения

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой точки:

,

где р — расстояние до полюса (центра поворота) (рис. 25.1).

Поскольку р2 = х2 - у2, получим: полярный момент инерции сечения равен сумме осевых:

Jp = Jx + Jy.

Осевые моменты инерции характеризуют сопротивление сече­ния повороту относительно соответствующей оси.

Полярный момент инерция характеризует сопротивление сече­ния повороту вокруг полюса (начала координат). Единицы измере­ния моментов инерции: м4; см4; мм4.

Моменты инерции простейших сечений

Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2)

Представим прямоугольник высотой h и шириной b в виде сечения, составленного из бесконечно тонких полос. Запишем площадь такой полосы: bdy=dA. Подставим в формулу осевого момента инерции относительно оси Ох:

Рис. 25.2

;

; получим: .

По аналогии, если разбить прямоугольник на вертикальные полосы, рассчитать площади полос и подставить в формулу для осевого момента инерции относительно оси Оу, получим:

.

Очевидно, что при h > b сопротивление повороту относительно оси Ох больше, чем относительно Оу.

Для квадрата: h = b; .

Осевые моменты инерции круга и кольца

Используя известную связь между осевыми и полярным моментами инерции, получим:

; ;

  (круг);  (кольцо).

Моменты инерции относительно параллельных осей

Оси Охо и Ох параллельны (рис. 25.4).

Рис. 25.4

При параллельном переносе прямоугольной системы осей уоОхо в новое положение уоОх значения моментов инерции JX, Jy, Jxy заданного сечения меняются. Задается формула переход без вывода.

Jx = Jxo + Aa2,

Здесь Jx – момент инерции относительно оси Ох;

Jxo – момент инерции относительно оси Охо;

6. момент инерции швеллера № 10 относительно главной центральной оси Jxо = 174 см4; площадь поперечного сечения 10,9 см2.

Определите осевой момент инерции относительно оси, проходящей через основание швеллера (рис. 25.9).

7. Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имеющих практически одинаковые площади (рис. 25.10).

8. Сравнить осевые моменты инерции относительно оси Ох прямоугольника и квадрата, имеющих одинаковые площади (рис. 25.11).

Рис. 25.9

Рис. 25.10

Рис. 25.11

Кручение.

Внутренние силовые факторы при кручении.

Построение эпюр крутящих моментов

Иметь представление о деформациях при кручении, о внутренних силовых факторах при кручении.

Уметь строить эпюры крутящих моментов.

Деформации при кручении

Кручение круглого бруса происходит при нагружении его парами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ называемый углом сдвига (угол поворота образующей Поперечные сечения разворачиваются на угол ip, называемый углом закручивания (угол поворота сечения, рис. 26.1).

Гипотезы при кручении

1. Выполняется гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформациии остается плоским и перпендикулярным продольной оси.

2.  Радиус, проведенный из центра поперечного сечения бруса, после деформации остается прямой линией (не искривляется).

3. Расстояние между поперечными сечениями после деформации не меняется. Ось бруса не искривляется, диаметры поперечных сечений не меняются.

Внутренние силовые факторы при кручении

Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент.

Внешними нагрузками также являются две противоположно натравленные пары сил.

Рассмотрим внутренние силовые факторы при кручении круглого бруса (рис. 26.1).

Примеры решения задач

Пример 1. На распределительном валу (рис. 26.3) установлены четыре шкива, на вал через шкив 1 подается мощность 12 кВт, которая через шкивы 2, 3, 4 передается потребителю; мощности распределяются следующим образом: Р2 = 8 кВт, Рз = 3 кВт, Р4 = 1кВ.

зал вращается с постоянной скоростью ω = 25 рад/с. Построить эпюру крутящих моментов на валу.

Рассмотрим нагрузки на валу при различном расположении колес.

Из представленных вариантов наиболее рационально расположение шкивов в третьем случае, здесь значения крутящих моментов минимальны. Вывод: при установке шкивов желательно, чтобы мощность подавалась в середине вала и по возможности равномерно распределялась направо и налево.


Основные понятия и аксиомы статики