Математический анализ лекции и задачи

Электротехника
Трехфазные цепи
Электрические машины и трансформаторы
Электрические двигатели и генераторы
Математика
Математический анализ
Предел функции
Производная и дифференциал
Неопределенный интеграл
Начертательная геометрия
Курсовая по начерталке
Прямые частного положения
Поверхности второго порядка
Пересечение многогранников
Метрические задачи
Построить проекции линии пересечения
двух плоскостей
Построить пересечение конуса и призмы
Построить собственные и падающие тени
заданных призм
 
Приведены примеры выполнения заданий
контрольной работы
Плоскость общего положения на
комплексном чертеже
Преобразование комплексного чертежа
Кривые линии на комплексном чертеже
Поверхности вращения, образованные
окружностью
Сечение поверхности плоскостью
Развёртки поверхностей
Инженерная графика
Выполнение чертежей
Графическое оформление чертежей
Шрифты чертежные
Построение и деление углов
Построение внешнего сопряжения
Общие сведения о видах проецирования
Проекции плоских фигур
Способ перемены плоскостей проекций
Теоретическая механика
Сопротивление материалов
Основные понятия и аксиомы статики
Проекция силы на ось
Условие равновесия произвольной
плоской системы сил
Момент силы относительно оси
Поступательное движение
Метод кинетостатики
Сопротивление материалов
Растяжение и сжатие
Полярный момент инерции сечения
Напряжения и деформации при кручении
Деформации при чистом изгибе
Особенность расчета валов
 

Математический анализ – совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Основателями этой дисциплины являются английский учёный И. Ньютон (1643–1727) и немецкий учёный Г. Лейбниц (1646–1716). Дальнейшее развитие математический анализ получил в работах таких известных математиков, как Я. Бернулли (1654–1705), И. Бернулли (1667–1748), Б. Тейлор (1685–1731), Л. Эйлер (1707–1783), Ж. Лагранж (1736–1813), Ж. Фурье (1768–1830), О. Коши (1789–1857), К. Якоби (1804–1851), К. Вейерштрасс (1815–1897), Б. Риман (1826–1866), М. Жордан (1838–1922), Г. Кантор (1845–1918) и многих других. Классическая часть современного математического анализа окончательно сформировалась к началу XX столетия. Эта часть анализа преподаётся на первых двух курсах университетов и входит (целиком или в значительной части) в программы всех технических вузов у нас в стране и за рубежом.

«Математический анализ» наряду с «Линейной алгеброй и аналитической геометрией» является базовым для изучения на втором и последующих курсах таких дисциплин, как «Дифференциальные уравнения», «Численные методы», «Уравнения математической физики», «Дополнительные главы анализа», «Функциональный анализ» и ряда других.

Множества. Операции над множествами В математике первичными понятиями являются понятия множества и элемента множества. Множества обозначают большими латинскими буквами A, B, ..., а их элементы – малыми a, b, ... Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут aÎA. В противном случае пишут aÏA. Для любого множества A (непустого или пустого) полагается AÈÆ=A.

Типовые расчеты (курсовые задания) по математике Производные и дифференциалы функций нескольких переменных Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Логические символы В математических рассуждениях часто встречаются выражения «существует элемент», обладающий некоторыми свойствами, и «любой элемент» среди элементов, имеющих некоторое свойство. Вместо слова «существует» или равносильного ему слова «найдётся» иногда пишут символ $, т. е. перевернутую латинскую букву E (от англ. Existence существование), а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» – символ ", т. е. перевернутое латинское A (от англ. аny любой). Символ $ называется символом существования, а символ " – символом всеобщности. Свойство непрерывности действительных чисел связано с самым простейшим использованием математики на практике – с измерением величин. При измерении какой-либо физической или какой-нибудь другой природы величины часто получают с большей или меньшей точностью её приближённые значения

Числовые множестваю Мощность множеств Расширенная числовая прямая Известно что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимнооднозначное соответствие. Часто бывает удобно дополнить эти множества элементами, обозначаемыми через +¥ и –¥ и называемыми соответственно плюс и минус бесконечностями Промежутки действительных чисел

Конечные и бесконечные множества. Эквивалентные множества. Мощность Рассматривая различные множества, мы замечаем, что иногда можно, если не фактически, то хотя бы примерно, указать число элементов в данном множестве. Таковы, например, множество всех вершин некоторого многогранника, множество всех простых чисел, не превосходящих данного числа, и т. д. Примеры. Множества точек на любых двух отрезках [a, b] и [c, d] эквивалентны между собой

Теорема Кантора Можно доказать, что из всех бесконечных множеств счётные множества имеют наименьшую мощность, если только существуют бесконечные множества, неэквивалентные счётному. Такие множества называются несчётными, их существование следует из теоремы Кантора.

Верхняя и нижняя грани множества Ограниченные и неограниченные множества Введём ряд нужных в дальнейшем понятий и изучим некоторые свойства числовых множеств. Рассмотрим произвольное множество XÌ¡.

Последовательность. Предел последовательности Пусть X – какое-либо множество и ¥ – множество натуральных чисел. Если каждому элементу множества ¥ поставлен в соответствие единственный вполне определённый элемент множества X, то говорят, что задана последовательность.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Последовательность, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой. Теорема о единственности предела последовательности Свойство пределов последовательностей

Теорема. Если последовательности xn, yn имеют конечные пределы: , то их произведение также имеет конечный предел, причём .

Неопределённые выражения Выше были оставлены без рассмотрения случаи, когда пределы переменных xn, yn (один или оба) бесконечны или, если речь идет о частном, когда предел знаменателя равен нулю. Из этих случаев мы здесь остановимся лишь на четырёх, представляющих некоторую важную и интересную особенность.

Предел монотонной ограниченной последовательности Переходим к изучению вопроса о том, какими свойствами должна обладать последовательность, чтобы у неё существовал предел. Прежде чем сформулировать окончательный ответ, рассмотрим один простой и важный класс последовательностей, для которых этот вопрос решается легко. Лемма . Пусть даны монотонно возрастающая последовательность xn и монотонно убывающая последовательность yn, причём всегда

Критерий сходимости Больцано–Коши Общий критерий сходимости последовательности принадлежит чешскому математику Больцано и французскому математику Коши. Для его формулировки нам понадобится следующее понятие. Отсюда следует, что любая фундаментальная последовательность, начиная с некоторого номера, становится ограниченной. Число «e»

Определение подпоследовательности Рассмотрим теперь, наряду с последовательностью xn, какую-либо извлечённую из нее частичную последовательность (или подпоследовательность)

Теорема (Больцано–Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности xn всегда можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходилась бы к конечному пределу.

Наибольший и наименьший пределы Итак, для любой последовательности xn, будь она ограничена или нет, существуют частичные пределы. Можно показать, что среди этих частичных пределов обязательно найдутся наибольший и наименьший; они называются наибольшим и наименьшим пределами самой последовательности xn